ЛЕКЦИЯ

Практика 1Практика 2

 

Практика 2

Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть события А1, А2,…Аn независимы в совокупности, причем р(А1) = р1, р(А2) = р2,…р(Аn) = pn; пусть в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них.

Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2,…Аn независимы в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

Р(А) = 1 – q1q2…qn.

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

Р(А) = 1 – qn.                                                           (1)

 Пример 2.1. В электрическую цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего соответственно равны: р1 = 0,1; р2 = 0,15; р3 = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение. Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие А), если откажет хотя бы один из элементов.

Искомая вероятность

Р(А) = 1 – q1q2q3 = 1 – (1 - p1)(1 - p2)(1 – p3) = 0,388.

 Задача 2.1. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

 Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2,…, Вн, образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А

р(А) = р(В1)рВ1(А) + р(В2)рВ2(А) + …+ р(Вн)рВн(А),                           (2)

где р(В1) + р(В2) + …+ р(Вн) = 1, т.е. события (гипотезы) В1, В2,…, Вн, образуют полную группу событий. Равенство (2) называют «формулой полной вероятности».

Пример 2.2. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Поскольку имеется две гипотезы: стрелок взял винтовку с оптическим прицелом, вероятность этого события р(В1) = 3/5, или стрелок взял винтовку без оптического прицела с вероятностью р(В2) = 2/5. Сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий).

Условная вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом (согласно условию задачи) равна рВ1(А) = 0,95.

Условная вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки без оптического прицела (согласно условию задачи) равна рВ2(А) = 0,7.

Искомая вероятность того, что стрелок поразит мишень одним выстрелом, из наудачу взятой винтовки, равна

р(А) = р(В1) рВ1(А) + р(В2) рВ2(А) = 0,85.

 Задача 2.2. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №1, 20 деталей - на заводе №2 и 18 деталей - на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1, отличного качества равна 0,9; для деталей изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества.

 Формула Бейеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2,…, Вн, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут переоценены по формуле Бейеса

,

где i = 1, 2,…,n; и р(А) = р(В1)рВ1(А) + р(В2)рВ2(А) + …+ р(Вn)рВn(А).

 Пример 2.3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая деталь с конвейера оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать две гипотезы: В1 – деталь произведена первым автоматом, причем, поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй, то

р(В1) = 2/3;

В2 - деталь произведена вторым автоматом, причем

           р(В2) = 1/3.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом,

рВ1(А) = 0,6.

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом,

рВ2(А) = 0,84.

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

р(А) = р(В1)рВ1(А) + р(В2)рВ2(А) = 0,68.

Тогда по формуле Бейеса, искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, равна

.

Заметим, что полученная вероятность меньше чем декларированная производителем вероятность выпуска первым автоматом деталей отличного качества. Таким образом формула Бейеса позволяет переоценить вероятности исходных гипотез.

 Задача 2.3. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомобилей, проезжающих по тому же шоссе как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

 Повторные испытания, формула Бернулли

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз определяется формулой Бернулли и равна

,

или

,

где q = 1 – p.

Вероятность того, что событие наступит:

        а) менее k раз

;

        б) более k раз

;

        в) не менее k раз

;

        г) не более k раз

.

Пример 2.4. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть две парии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимать)?

Решение. Так как играют равные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша равна р = 1/2, следовательно вероятность проигрыша q также равна 1/2. Поскольку во всех партиях вероятность выигрыша постоянна, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

.

Найдем вероятность того, что три партии из шести будут выиграны:

.

Так как Р4(2) > Р6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три партии из шести.

Задача 2.4. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз;  б) не менее двух раз.

Задача 2.5. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух  и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

Задача 2.6. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2 : 1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения.

 Производящая функция

В предыдущих задачах рассматривали испытания с одинаковыми вероятностями появления события; рассмотрим такие испытания, в которых вероятности появления события различны.

Пусть производится n независимых испытаний, причем в первом испытании вероятность появления события А равна р1, во втором – р2,…, в n-м испытании рn; вероятности непоявления события А соответственно равны q1, q2,…, qn; Pn(k) – вероятность появления события А в n испытаниях ровно k раз.

Производящей функцией вероятностей Pn(k) называют функцию, определяемую следующим равенством

φn(z) = (p1z + q1)(p2z + q2)…(pnz + qn).

Вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р1, во втором – р2 и так далее, событие А появится ровно k раз, равна коэффициенту  при zk в разложении производящей функции по степеням z.

Например если n = 2, то

φ2(z) = (p1z + q1)(p2z + q2) = p1p2z2 + (p1q2 + p2q1)z + q1q2.

Здесь коэффициент р1р2 при z2 равен вероятности Р2(2) того, что в двух испытаниях событие А появится ровно два раза; коэффициент p1q2 + p2q1 при z1 равен вероятности Р2(1) того, что событие А появится ровно один раз, коэффициент при z0 т. е. свободный член q1q2 равен вероятности Р2(0) того, что событие А не появится ни одного раза.

Пример 2.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов за время t соответственно равны р1 = 0,7; р2 = 0,8; р3 = 0,9. Найти вероятности того, что за время t будут работать: а) все элементы, б) два элемента, в) один элемент, г) ни один из элементов.

Решение. Так как вероятности безотказной работы элементов равны р1 = 0,7; р2 = 0,8; р3 = 0,9, то вероятности того, что элементы откажут

q1 = 0,3; q2 = 0,2; q3 = 0,1.

Составим производящую функцию

 

а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z3:

Р3(3) = 0,504.

б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z2:

Р3(2) = 0,398.

в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при z1:

Р3(1) = 0,092.

г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену:

Р3(3) = 0,006.

В заключение отметим, что сумма всех найденных вероятностей равна единице, поскольку перечисленные события образуют полную группу

0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 = 1.

Задача 2.7. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна 0,8; второго – 0,85; третьего – 0,9. Найти вероятности следующих событий: а) три попадания в цель; б) два попадания в цель; в) одно попадания в цель; г) ни одного попадания; д) хотя бы одно попадание.

 Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Если число испытаний возрастает, то вычисление вероятностей по формуле Бернулли затруднено из-за факториальных расчетов, с этой целью используют приближенный расчет.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна

.                                                     (3)

Здесь

.

Таблица функций φ(х) для положительных значений х приведена в приложениях практически каждой книги по теории вероятности; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей, поскольку функция φ(х) четная, следовательно, φ(х) = φ(-х).

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

                                                          (4)

Здесь

-         функция Лапласа,

Таблица функции Лапласа для положительных значений х (0 < x < 5) приведена в приложениях практически каждой книги по теории вероятности; для значений x > 5 полагают Φ(х) = 0,5; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей, учитывая, что функция Лапласа Ф(х) = -Ф(-х) нечетная.

Пример 2.6. Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вычислим х:

Так как функция φ(х) четная, то φ(-1,67) = φ(1,67). По таблице найдем

φ(1,67) = 0,0989.

Искомая вероятность, согласно формуле (3)

Пример 2.7. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится:  а) не менее 75 раз и не более 90 раз;  б) не менее 75 раз;  в) не более 74 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Где

а) По условию n = 100; р = 0,8; q = 0,2; k1 = 75; k2 = 90. Вычислим х' и х":

 

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т. е. Ф(-1,25) = -Ф(1,25) получим

Р100(75;90) = Ф(2,5) – Ф(-1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице функций Лапласа найдем

Ф(2,5) = 0,4938;  Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность равна

Р100(75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может равно 75 либо 76, …, либо 100, т. е. находится в интервале от 75 до 100. Таким образом, в рассматриваем случае следует принять k1 = 75; k2 = 100. Тогда

 

По таблице функций Лапласа найдем

Ф(5) = 0,5;  Ф(1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность равна

Р100(75; 100) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.

в) События – «А появилось не менее 75 раз» и «не более 74 раз» противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно, искомая вероятность

Р100(0; 74) = 1 – Р100(75; 100) = 0,1056.

Пример 2.8. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Решение. По условию р = 0,8; q = 0,2; k1 = 75; k2 = n; Pn(75; n) = 0,9. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

.

Подставляя данные задачи, получим

 

Очевидно, число испытаний n > 75, поэтому , поскольку функция Лапласа возрастающая и Ф(4) ≈ 0,5, то можно положить Ф(4,33) = 0,5, следовательно,

Таким образом,

.                                              (5)

По таблице функций Лапласа найдем 0,4 = Ф(1,28). Из соотношения (5), учитывая что функция Лапласа нечетная, получим

.

Решая это уравнение, как квадратное относительно , получим

 = 10.

Следовательно, искомое число испытаний равно n = 100.

Задача 2.8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Задача 2.9. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится:  а) не менее 1470 раз и не более 1500 раз;  б) не менее 1470 раз;  в) не более 1469 раз.

Задача 2.10. Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?